脳内ライブラリアン

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医療、統計、哲学、育児・教育、音楽など、学んだことを深めて還元するために。

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統計

現代数理統計学の基礎 4章 問13

今回は同時分布関数を求める問題ですね。 W=0,1で場合分けして計算していきます・ W=0の場合は となるので、上の計算においてXとYを入れ替えたものになります。なので、結果としては同じものが導き出されます。 分布関数や確率の値を指定されたものに置き換…

現代数理統計学の基礎 4章 問12

標準正規分布に従う確率変数の比を求める問題ですね。 昨日の記事で書いたように、分布関数に立ち戻って考えていきます。 確率変数の和と比(和の分布・畳み込み・比の分布の変数変換)【統計検定1級対策】 - 脳内ライブラリアン まず、とすると となります…

確率変数の和と比(和の分布・畳み込み・比の分布の変数変換)【統計検定1級対策】

最近は専門医試験のレポート期限が迫ってきたことや日本語で書かないといけない論文もあって、ちょっと更新ペースが落ちますが、ぼちぼちやっていきます。 確率変数の和と比について変数変換するとどのようになるか、といった問題も時々出ています。比につい…

1標本のt検定と対応のある2標本のt検定の式をできるだけわかりやすく見直してみる【統計検定1級対策】

統計検定1級の統計応用で時折出題されるt検定について、数式がたまにこんがらがるのでまとめ直してみます。 目次: t分布とは t検定とは 1標本のt検定 対応のある2標本のt検定 t分布とは t検定がt分布に基づくものなので、まずはこちらを簡単に。 t分布は標…

現代数理統計学の基礎 4章 問23

今回は多項分布の問題を解きます。 まずは(1)から。 k番目の値が定まった時の条件付き確率関数を求める問題です。 なので となります。 続いて(2)。共分散を求める問題ですね。 i

現代数理統計学の基礎 4章 問21

統計応用医薬生物学の2019年問3をみると、今まで苦手意識が強かった共分散や多変量正規分布・多項分布も基本的なことはやらないといけないな、、と感じ始めたので、それに合わせて問題解いていきます。 ふと気づいたら、これまで4章は記事書いてなかったです…

実際の医学論文から統計を学んでみるⅤ -多重検定/ボンフェローニ法/ファミリーワイズエラー率-

最近読んでみた2016年のオピカポン(オンジェンティス)の第3相試験の研究で、多重検定が含まれてましたので、紹介しつつ学習してみようと思います。 元の論文はこちら。 Ferreira, Joaquim J., et al. "Opicapone as an adjunct to levodopa in patients wi…

【統計応用】95%信頼区間と2標本両側t検定【統計検定1級対策】

2016年の統計応用(共通問題)でこんな問題が出てました。 「2つのデータの95%信頼区間と2標本両側t検定の有意差の関係性を調べよ」 これって医療統計本の中では屈指の出来である(と個人的に思っている)「今日から使える医療統計(新谷歩著)」*1に出てき…

小ネタ集<コーシー・シュワルツの不等式、算術平均・幾何平均・調和平均、二項定理>【統計検定1級対策】

もともと数学は大の苦手分野なので、数学的な有名定理も全く馴染みがないのですが、統計検定の問題において必要とされることがあるので、自分向けの備忘録としてまとめておきます。 ひとまず目についたところでコーシー・シュワルツの不等式、算術平均・幾何…

現代数理統計学の基礎 3章 問10

統計検定1級ですが最近は解き方を1個1個細かくみるというより、過去問をどんどん解けるように練習中です。統計応用よりも統計数理の方が範囲が定まっているのでなんだか解いていると安心するという不思議な状態になっています、、、(汗 統計応用は知らない…

現代数理統計学の基礎 3章 問9

ポアソン分布に従う確率変数Xがλ→∞のときにが標準正規分布に収束することを証明する問題ですね。 2017年の統計検定1級の問3の最後で全く同じ問題が出ています。 お馴染みのテイラー展開を活用して解いていきます。 〜はどのような分布になるかか、という問題…

【統計応用・医薬生物学】Simonの2段階デザインについてわかりやすく【統計検定1級対策】

2017年の統計応用問3で出ていた問題が、サイモンの2段階デザイン(Simon's two-stage design)と呼ばれる、早期中止を含めた2段階のランダム化比較試験デザインでした。 抗がん剤の第2相試験で使われたりしているようですが、神経内科領域ではどうにも馴染み…

現代数理統計学の基礎 5章 問6

マルコフの不等式を使った問題をやってみます。 まずは(1)から。 標準正規分布に従うZに対して を証明します。 補足すると マルコフの不等式はXを非負の確率変数として と表されます。また とも言えるので、上記の1つ目の式変形ができます。 また2つ目の式…

変数変換・平方変換・確率積分変換【統計検定1級対策】

統計検定1級で頻出なテーマである確率密度関数の変数変換、平方変換、確率積分変換についてまとめてみようと思います。 目次: 変数変換 平方変換 確率積分変換 変数変換 まずは変数変換から。 確率密度関数に従う確率変数Xに対してg(X)=Yとしたときに、Yが…

現代数理統計学の基礎 5章 問5

統計応用もやりつつ、時々統計数理のほうも解いていっています。 今回は5章の問5。 順序統計量と平方変換の両方を使う良い問題です。 まずZ=min(X, Y)なのですが、これをどう表現するか。 解答例と同様に、順序統計量としてみて、一番小さい値と考えます。 …

【統計応用・医薬生物学】ノンパラメトリック法・ウィルコクソンの符号付き順位検定【統計検定1級対策】

引き続きノンパラメトリック法の検定についてみていきます。 ウィルコクソンの符号付き順位検定とは ウィルコクソンの符号付き順位検定は1標本の検定に使われるもので、対応するデータの差が正のときに1、負のときは0として(ここまでは符号検定と同じ)それ…

【統計応用・医薬生物学】ノンパラメトリック法・符号検定【統計検定1級対策】

2016年、2019年と出題されているノンパラメトリック法の検定について簡単にまとめておきます。 符号検定とは 符号検定は1標本に対して行われるノンパラメトリック検定です。ある対応するデータの差が正であれば1、負であれば0として、それをデータの数だけ足…

【統計応用・医薬生物学】RMST法の期待値と分散【統計検定1級対策】

引き続き生存時間解析の話ですが、2019年の過去問ではRMST法の問題が出ていたので、期待値と分散の導出について簡単に説明します。 RMST法ってそもそもなんやねんということは過去に一度記事を書きました。 medibook.hatenablog.com 範囲にも書いてないし、…

【統計応用・医薬生物学】Cox比例ハザードモデルと尤度関数【統計検定1級対策】

生存時間解析の勉強を進めて、今回はCox比例ハザードモデルについて過去問に対応できるように知識をつけていきたいと思います。 ハザード関数と生存関数の知識が前提に必要なので、わからなかったらこちらをどうぞ。 medibook.hatenablog.com 目次: Cox比例…

【統計応用・医薬生物学】カプラン・マイヤー推定値の信頼区間・Greenwoodの公式【統計検定1級対策】

今回はカプラン・マイヤー推定値の信頼区間を知るための分散の求め方をやってみようと思います。この分散の式はGreenwoodの公式と呼ばれています。 統計検定1級の教本にも紹介されていますし、導出の過程はほどほどの難しさなので、出題されてもおかしくはな…

【統計応用・医薬生物学】カプラン・マイヤー推定値とネルソン・アーレン推定値【統計検定1級対策】

今日も統計検定1級の統計応用・医薬生物学分野について頻出の内容をまとめてみようと思います。 追加した内容は以前まとめた記事に載せていきます。 統計検定1級の出題範囲と過去の記事・お役立ちサイト・参考書をまとめてみた【統計検定1級対策】 - 脳内ラ…

【統計応用・医薬生物学】ハザード関数と生存関数の関係性を整理【統計検定1級対策】

統計数理もだいぶ勉強は進んできたのでぼちぼち統計応用の分野の勉強も進めようかと思っています。 そこで2018−2019年の過去問をようやく買ってみて統計応用・医薬生物学分野をみてみたのですが、思った以上に難しそうでした、、、。自分の知識のばらつきか…

現代数理統計学の基礎 5章 問12

二項分布を変数変換したときの、確率収束及び分布収束の問題ですね。 今まで解答の意味がよくわからなかったのですが、確率変数がn→∞となるときにどう動くかは、前提として二項分布の母比率と標本比率の話がわかっておいた方が良さそうであることに後で気が…

現代数理統計学の基礎 5章 問10(2)

続いて分布収束の問題です。 不偏分散と母分散を用いた式が分布収束することを示す問題ですね。 パッとみた感じ、(1)で示したように不偏分散の期待値が母分散と一致しており、分散がでしたので、中心極限定理を使えばいけそうな雰囲気がします。 不偏分散…

現代数理統計学の基礎 5章 問10(1)

さて、戻りまして5章の問題をぼちぼち解いていきます。 統計応用の方も対策を進めたいので、並行してやっていきたいところですね。 問10は確率収束、分布収束の問題です。 まずは(1)から。 (1)はn→∞のとき、不偏分散が母分散に確率収束することを示す問…

現代数理統計学の基礎 7章 問10(3)

さて、(3)は一様最強力不偏検定を示す問題です。 公式の解答を見ると が一様最強力不偏検定である から唐突に始まってます。 それを導出していくというより、これが一様最強力不偏検定であることを示す感じになってますね。問題の意図がそれでいいならまあ…

不偏検定とその証明についてできるだけわかりやすく【統計検定1級対策】

今回は初見では意味が分かりづらかった不偏検定、一様最強力不偏検定とその証明について、正規分布の場合を例に記事にまとめておこうと思います。 不偏検定とは? 不偏検定(unbiased test)とはざっくり言うと、仮設検定のうち、以下の条件を満たすものを指し…

現代数理統計学の基礎 7章 問10(2)

7章問10は一様最強力検定が存在しないことを示す問題です。 複合仮説でも片側検定であれば、成り立ち得ますが、両側検定だと成り立たないことは本書中でも、棄却域を示す式が異なることで説明されていました。同様の方法で示します。 まず、対立仮説はのとき…

現代数理統計学の基礎 7章 問10(1)

このところ淡々と問題をやり続けてます。次は問10。 今回は正規分布を使った複合仮説の仮設検定ですね。 まず今までの7章の問題と同様に帰無仮説をとして尤度比検定(=最強力検定)を求めます。 まず正規分布における尤度関数は そして対数尤度関数は 正規…

現代数理統計学の基礎 7章 問9(2)

問9(2)ですが、問4と同じような感じで棄却域を広げていきます。 現代数理統計学の基礎 7章 問4 - 脳内ライブラリアン まずは帰無仮説をと固定します。 次に場合わけ。 ①のとき 尤度比は1となってしまうので成立せず。 ②のとき (1)の式と同様にしてにを入れ…