脳内ライブラリアン

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医療、健康、統計、哲学、育児・教育、音楽など、学んだことを深めて還元するために。

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統計

ガンマ関数とベータ関数の関係性を整理【統計検定1級対策】

通勤時間で色々本は読むのですが、いかんせんブログを書く時間が作れません。 今日はとりあえずさっとできそうなことで、引き続き統計の勉強内容を書きます。 ガンマ関数とベータ関数は統計のみならず、必要となってくる内容らしいですが、統計学ではガンマ…

検査による確率変動の算出方法 -尤度比と検査前後確率/オッズについて-

医師が診断をするときにどのように その病気らしい/らしくない、を判断していくのか。 具体的な確率で数値化することは情報が揃っていればできます。 ただ診断をつけるときにその疾患である確率を 実際の診療で細かく計算したり、イメージすることはないので…

現代数理統計学の基礎 6章 問15

久々になりましたが統計学基礎の解説に戻ります。 問14は3章の別の問題の結果を多用しすぎていて 正直解説が若干めんどくさい、、、ので問15。 母数θを用いた関数の不偏推定量について 与えられるクラメールラオの不等式の問題です。 コーシーシュバルツの不…

実際の論文から統計を学んでみる⑤-Cox比例ハザード回帰とは-

実際の論文をみつつ統計学習をしてきましたが 今回の論文についてはここでいったん最後です。 使用している論文がこちら "Neck weakness is a potent prognostic factor in sporadic amyotrophic lateral sclerosis patients" (Nakamura R, Atsuta N, Watana…

実際の論文から統計を学んでみる②-ログランク検定とは-

前回から続きまして 実際の論文をみつつ統計の学習してみます。 使用している論文がこちら "Neck weakness is a potent prognostic factor in sporadic amyotrophic lateral sclerosis patients" (Nakamura R, Atsuta N, Watanabe H, et al Journal of Neuro…

実際の論文から統計を学んでみる①-比例ハザード性とは-

今回は医師向けの内容です。 最近数理統計学をそれなりに勉強したので 多変量解析とか生存時間解析などの 応用分野に手を伸ばし始めています。 これでようやく普段読む論文の解析内容に近づいてきました。 そこで、論文の内容みながら 解析方法についてどん…

現代数理統計学の基礎 6章 問13-3

引き続いて(3)ですが。 がどのような分布に 従うかという問題。 順番に考えます。 まず問題の条件から だったので となります。 ここでについて考えると ですが 確率変数XはN(0,θ)に従う正規分布であることから なので その二乗である値は とχ2乗分布に従い…

現代数理統計学の基礎 6章 問13-2

(2)の問題。 (1)で求めたθの最尤推定量を求めて 平均と分散を求めていく問題。 最尤推定量はさほど難しくはなくて 対数尤度関数=0をおいて導出します。 まず同時確率密度関数から。 対数尤度関数にすると θで微分して=0とすると よって 最尤推定量は無事求…

現代数理統計学の基礎 6章 問13-1

平均0, 分散θの正規分布についての問題。 まず(1)は分散のフィッシャー情報量を求める問題ですね。 問12で書いたように対数尤度関数の二回微分を求めていけばよいので まず対数尤度関数が θで2回微分すると よってフィッシャー情報量を求めていくと となりま…

現代数理統計学の基礎 6章 問12(3)

続いて(3) 最尤推定量の分散がクラメールラオの下限に一致することを 確かめる問題です。 まず最尤推定量を確かめるため 同時確率密度関数の最尤推定をします。 同時確率密度関数をとすると その対数尤度関数は となります。 これを=0として最尤推定量を求…

現代数理統計学の基礎 6章 問12(1)

さて、数理統計学の勉強ですが 問題を解くことはすでにこの本の8章まで 終わってまして、回帰分析の勉強をぼちぼち開始しました。 復習がてら引き続き6章の解答を。 問12はポアソン分布の最尤推定の問題です。 (1)は積率母関数でポアソン分布に従う確率変数…

現代数理統計学の基礎 6章 問11-2

コロナ流行のため電車通勤→車通勤に変えたのですが そのせいで普段の通勤中にできていた勉強ができず 統計の勉強も滞り気味で困っているところです。 間空きましたが統計の問題続けていきます。 6章問11の(2)です。 最尤推定量と不偏推定量の漸近分布が一致…

現代数理統計学の基礎 6章 問11-1

二項分布における不偏推定量と最尤推定量の問題ですね。 Bin(n,p)のpの推定は簡単ですが 今回の問題はθ=p(1-p)について。 p2乗が出る分若干計算が要ります。 まず対数尤度は これをpについて解くと最尤推定量が求まります。 よって求めたいθはp122<MLEの不…

現代数理統計学の基礎 6章 問10-3

引き続き問10から(3) σとμの不偏推定量を求める問題。 不偏推定量とは を満たす推定量のことでした。 (2)より2T/σがχ2乗分布に従うことが わかったので となります。Tの部分を代入して解とします。 μについては同様に(2)の結果を用いて でした。Uの部分に代…

現代数理統計学の基礎 6章 問10-1

頑張ってLatex使って書いてみよう、という気持ちで問10。 指数分布の問題。 まず(1)、μとσの2つの母数に関しての十分統計量の問題。 定義関数を用いつつ、同時確率密度関数を出します。 あとからU=X(1)をくくりだすために一旦式の中に作り出します。 これを…

現代数理統計学の基礎 6章 問9

今まで手書きの汚い数式を晒してきたのですが 今後色々まとめなおしたりする時に 何だかんだでPCで数式を書けるようにする必要があることを と思い直しまして。 結局スキャナでメモを読み取るのも面倒くさいのと 計算手書きでするときに書き間違えを気にしな…

現代数理統計学の基礎 6章 問4

引き続き6章から。 問3はどうにも腑に落ちないところがあったので 問4に続きます。 θの条件付き確率、一様分布、順序統計量、不偏推定量 そして平均2乗誤差の問題ですね。 まず(1)から p.119の例題と同様にして解きます。 一様分布の場合は定義関数で表しま…

現代数理統計学の基礎 6章 問2

今回は6章。 5章は実は以前解いていたので復習がてら載せていましたが 今解いてる6章から順番に並行して載せていきます。 問1はひたすらに様々な分布で十分統計量を書いていくだけの問題なので 問2から。 十分統計量と最尤推定量の問題ですね。 同時確率密度…

現代数理統計学の基礎 5章 問4

本日も統計問題の続きを。 5章問3はどうも何度か解答見ても納得できなかったので 問4にいきます。 F分布の何乗かした期待値を求める問題です。 3章問18でみられたχ2乗分布の特徴を用いて解きます。 上の半分がその説明となっています。 (※分子のガンマはv+n…

現代数理統計学の基礎 5章 問2

引き続いて5章から問2です。 t分布を正規尺度混合分布として正規分布と関数の積として表すことで 最終的には確率密度関数を出せという問題です。 まず前提条件としてf(x,y)の同時確率密度関数が xの条件付き確率密度関数とfY(y)の積で表せることを確認してい…

現代数理統計学の基礎 5章 問1

統計学の自学自習のためにここ1年ほど 「現代数理統計学の基礎 久保川達也著」 という本を使っています。 統計検定1級合格者のブログなどをみていると ”これをやればほぼ範囲は網羅されています” と書いてあるので1冊マスターしようという気持ちで買ったので…