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変数変換・平方変換・確率積分変換【統計検定1級対策】

統計

統計検定1級で頻出なテーマである確率密度関数の変数変換、平方変換、確率積分変換についてまとめてみようと思います。

 

目次：

 

変数変換

まずは変数変換から。

確率密度関数f_X(x)に従う確率変数Xに対してg(X)=Yとしたときに、Yが従う確率密度関数f_Y(y)を求める方法です。ここで、g(X)は単調増加関数とします。

 

いつも思い出す時に変換の式をちょくちょく混乱するのですが、分布関数の定義そのものから導き出すことを覚えておくと、自分で導出することで確認ができます。

 

F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(g(X)\leq y)

ここがスタートですね。

 

次にこれを積分の式まで持ち込みます。

P(g(X)\leq y)=P\{X\in(x|g(x)\leq y)\}\\=P\{X\in(x| x\leq g^{-1}(y))\}\\=\int_{-\infty}^{g^{-1}(y)}f_X(x)dx

 

 よって

f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)\\=\frac{d}{dy}\int_{-\infty}^{g^{-1}(y)}f_X(x)dx\\=\frac{d}{dy}F_X(g^{-1}(y))\\=\frac{d}{dy}g^{-1}(y)f_X(g^{-1}(y))\\=\frac{1}{g'(g^{-1}(y))}f_X(g^{-1}(y))

となります。

 

g(X)が単調減少関数の場合も同様になりますので、公式としてまとめる場合

f_Y(y)=\frac{1}{|g'(g^{-1}(y)|)}f_X(g^{-1}(y))

と言えます。

 

平方変換

続いて平方変換です。

Y=X^2のような変換をする場合になります。

 

変数変換と基本的には同様の形式をたどります。

F_Y(y)=P(Y\leq y)\\=P(X^2\leq y)\\=P(X\in x|x^2\leq y)\\=P(X\in x|-\sqrt y\leq x\leq\sqrt y)\\=\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}f_X(x)dx

よって、

f_Y(y)=\frac{d}{dy}\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}f_X(x)dx\\=\frac{1}{2\sqrt y}\{f_X(-\sqrt y)+f_X(\sqrt y)\}

となります。

 

確率積分変換

統計応用医薬生物学の2017年の問１でこれを使った問題が出題されています。

 

確率積分変換は変数変換の特殊な例に当てはまりますが基本的にやることは一緒です。ある確率分布関数F_X(x)=Yと置換した時、Yは区間[0,1]の一様分布に従うというものです。

 

確率分布関数は0〜1の範囲に当てはまり（0\leq y\leq1）、また単調増加関数です。 

 

上述の変数変換の式に従えば

f_Y(y)=\frac{1}{f_X(F^{-1}_X(y))}f_X(F^{-1}_X(y))\\=1

となります。

 

過去問にも出ていましたが乱数形成にも使われる方法です。

一様分布に従うYの値を生成して、分布関数の逆関数さえ分かれば

F^{-1}_X(y)=X

とすることで任意の確率分布に従う数を生成することができます。

 

参考文献：

『現代数理統計学の基礎』