脳内ライブラリアン

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現代数理統計学の基礎　4章　問15

統計

さて、ここ最近は専門医試験のレポートに追われてあまり時間が取れません、、、。前に解いた問題をしばらく上げていきます。

 

今回は3変数における変数変換の問題ですね。

 

まずはX＝の形に直してみてみます。

 

X_1=Z_1Z_2Z_3

X_2=(1-Z_1)Z_2Z_3

X_3=(1-Z_2)Z_3

となることが分かります。

 

ここでヤコビアンは（行列式のlatexが面倒なので手書き）

f:id:medibook:20210615053222j:plain

となりますので、サラスの公式を使って

J=Z_1Z_2^2Z_3^2+(1-Z_1)(1-Z_2)Z_2Z_3^2+(1-Z_1)Z_2^2Z_3^2+Z_1Z_2(1-Z_2)Z_3^2\\=Z_2Z_3^2

となります。

 

 よって、3つの変数による同時確率分布は

f_{Z_1,Z_2,Z_3}(z_1,z_2,z_3)=\lambda exp\{-\lambda z_1z_2z_3\}\lambda exp\{-\lambda(1-z_2)z_3\}\lambda exp\{-\lambda (1-z_1)z_2z_3\}z_2z_3^2\\=z_2\lambda^3 z_3^2exp\{-\lambda z_3\}

となります。

 

f_{Z_1}(z_1)=1と考えれば、これは3つの確率変数の積で表されるので、互いに独立であることが分かります。これで（1）は終わり。

 

(2)(3)は

f_{Z_1}(z_1)=1

とZ_1が一様分布であることがまず分かります。

 

続いて残る二つの確率変数ですが、Z_3はよく見るとガンマ分布に近い形をしていることが分かります。

 

これは当然なのですが、Z_3=X_1+X_2+X_3なので、ガンマ分布の和の再生性を考えても分かりますね。

 

なので

f_{Z_3}(z_3)=\frac{\lambda^3}{2}z_3^2exp\{-\lambda z_3\}

となり、Ga(3,\lambda)に従うことが分かります。

 

残るZ_2はf_{Z_2}(z_2)=2z_2(0\lt z_2\lt1)

となるので、これで終わりです。