脳内ライブラリアン

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現代数理統計学の基礎 6章 問4

引き続き6章から。

問3はどうにも腑に落ちないところがあったので

問4に続きます。 

θの条件付き確率、一様分布、順序統計量、不偏推定量

そして平均2乗誤差の問題ですね。

まず(1)から p.119の例題と同様にして解きます。 

f:id:medibook:20200219223013p:plain

 一様分布の場合は定義関数で表します。

定義関数をみるとθと関連しているのがX(n)であるのがわかります。

あらかじめ知っていないとわからないですね、これ。 

 

続いて(2)

平均2乗誤差(mean square error : MSE)のどちらがより小さいかを求める問題。

『MSE=分散 - biasの2乗』 でしたが

不偏推定量であればMSEのbiasは0になるので

要は分散を求めて比較すればよいわけです。

 

不偏推定量の定義からE[θhat]=θとなるので

それを利用して求めます。

θhatが十分統計量X(n)の関数として表されるので

X(n)の確率密度関数を使います。

f:id:medibook:20200219223038p:plain

 一様分布の標本平均なのでE[Xbar]のほうはさらっと求めます。

 

まずX(n)の不偏推定量から

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続いて標本平均は

f:id:medibook:20200219223121p:plain

引き算すると明らかにU2>U1であることがわかります。

 

では最後、最尤推定量のMSEを求めます。

(1)で求めた同時確率密度関数から、θを最小とすれば

最も確率が大きくなることがわかります。

θ=X(n)のとき最小なので

f:id:medibook:20200219223142p:plain

 となります。