脳内ライブラリアン

脳内ライブラリアン

医療、健康、統計、哲学、育児・教育、音楽など、学んだことを深めて還元するために。

MENU

現代数理統計学の基礎 5章 問1

統計学の自学自習のためにここ1年ほど

「現代数理統計学の基礎 久保川達也著」

という本を使っています。

 

統計検定1級合格者のブログなどをみていると

”これをやればほぼ範囲は網羅されています”

と書いてあるので1冊マスターしようという気持ちで買ったのですが

いかんせん難しい。

 

そんなわけで、ほかの解説書もみながらやっているんですけども

同じようにつまずくひとが沢山いるのか

googleの検索ワードをみると"現代数理統計学の基礎 難しい"

とか"現代数理統計学の基礎 解説"とかいうワードが並びます。

 

何度か読み直してみるとやっぱり良い本だなと思ったりもするのですが

そこにたどり着くのに苦労するのと、練習問題の解説が

たまに行間を飛ばしていてわからん、、、ということがあります。

 

そこで自分の書いた解答を復習がてら並べてみることにします。

専門ではないゆえに間違ったことがあるかもしれないので

詳しい方がいたらぜひ突っ込みをお願いします。

 

実際1~3章あたりはすでに解説を書いておられるブログもありそうなので

飛ばして、5章から書きます。

 

ちなみに数式ですが、コードを打ち込んで書くべきなんでしょうけれど

正直時間がかかって面倒くさいので手書きをスキャンしたものにします。

字が汚くてすみません、、笑

 

 

第5章 問1

標本平均と標本分散×n1/2乗の平均と分散を求める問題。

第5章のp87で示されていたように標本平均と標本分散の独立性と

標本平均の分布の標準化、下図Yがχ2乗分布に従うことを利用して解きます。

 

まずは期待値から

 

f:id:medibook:20200216053905p:plain

f:id:medibook:20200216053824p:plain

それぞれZとYは独立なので

f:id:medibook:20200216054040p:plain

 

 

確認ですがχ2乗分布はガンマ分布に含まれるもので

自由度nのχ2乗分布はGa(n/2, 2)でした。よって今回は

f:id:medibook:20200216054124p:plain

 

これを用いて上の式の期待値を計算します。

f:id:medibook:20200216054136p:plain

ガンマ分布は上手く変数を中に入れ込んでしまえば

ガンマ関数が作れるので答えがでます。

 

 

続いて分散は

f:id:medibook:20200216054149p:plain

定数の分散は0でした。

 

ここで公式の解答と同様にE[ルートY]=Cとおきます。

(式が長くて面倒くさいので)

f:id:medibook:20200216054203p:plain

標準正規分布の期待値が0なので間の項がさくさくと消えて

答えが出ます。

 

最後の式変形は

E[Y]が自由度n-1のχ2乗分布の期待値であることから

n-1となります。