脳内ライブラリアン

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現代数理統計学の基礎　7章　問1 (2)

統計

引き続きまして7章の問題です。

平均が既知で、分散未知の場合の、正規分布の尤度比検定、ワルド検定、スコア検定ですね。

 

公式の解答はやや凝ったやり方なように見えるのですが、通常通りのやり方に沿ってもできるように思います。

 

まずは尤度比検定から。

 

帰無仮説が成り立たない場合の、最尤推定量を最初に考えておきますと、対数尤度関数を分散で微分して

\frac{\partial}{\partial\sigma^2}logL(\sigma^2)\\=-\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2\sigma^4}\sum(X_i-\mu)^2

最尤推定量はこれを=0として変形することで

\hat\sigma^2=\frac{1}{n}\sum(X_i-\mu)^2

となります。

 

では次に尤度比（\lambda(x)）に-2logをつけたものを計算すると

-2log\lambda(x)=-2logL(\sigma_0^2)+2logL(\hat\sigma^2)\\=nlog2\pi+nlog\sigma_0^2+\frac{1}{\sigma_0^2}\sum(X_i-\mu)^2-nlog2\pi-nlog\hat\sigma^2-\frac{1}{\hat\sigma}\sum(X_i-\mu)^2\\=-nlog\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}+n\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}-n

となります。

最後の式変形は最尤推定量の式を用いて

n\hat\sigma^2=\sum(X_i-\mu)^2を代入して変形しました。

 

これがカイ二乗分布に従いますので、式を整理して

n(-log\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}+\frac{\hat\sigma^2}{\sigma_0^2}-1)\gt\chi^2_{1,\alpha}

となります。

 

 

 

 

 

 

続いてワルド検定です。

前問と同様に、この式を利用します。

\sqrt nI_1(\hat\sigma^2)(\hat\sigma^2-\sigma_0^2)\sim N(0,1)

 

フィッシャー情報量を求めていくと、確率密度関数の対数をとったものを分散で2回微分して負の期待値をとればよいので、まず1回微分が

\{logf(x)\}'=-\frac{1}{2\sigma^2}+\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^4}

2回微分して

\{logf(x)\}''=\frac{1}{2\sigma^4}-\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^6}

 

これの期待値にマイナスをかけると

E[\{logf(x)\}'']=-\frac{1}{2\sigma^4}+\frac{1}{\sigma^6}E[x^2-2\mu x+\mu^2]\\=-\frac{1}{2\sigma^4}+\frac{1}{\sigma^6}(\sigma^2+\mu^2-2\mu^2+\mu^2)\\=-\frac{1}{2\sigma^4}+\frac{1}{\sigma^6}\sigma^2\\=\frac{1}{2\sigma^4}

これがデータ1個分のフィッシャー情報量になります。

 

よって最初の式にこれを当てはめれば

\sqrt{\frac{n}{2\sigma^4}}(\hat\sigma^2-\sigma_0^2)\sim N(0,1)

となるので二乗して棄却域を考えると

\frac{n}{2\sigma^4}(\hat\sigma^2-\sigma_0^2)^2\gt\chi^2_{1,\alpha}

となります。

 

 

 

では、最後にスコア検定。これも前の問題と同じで、帰無仮説のもとに以下の式が成り立ちます。

\frac{S(\sigma_0^2)}{\sqrt{nI_1(\sigma_0^2)}}\sim N(0,1)

 

まずスコア関数を計算すると

S(\sigma_0^2)=\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\{-\frac{n}{2}log2\pi-\frac{n}{2}log\sigma_0^2-\frac{1}{2\sigma_0^2}\sum(X_i-\mu)^2\}\\=-\frac{n}{2\sigma_0^2}+\frac{1}{2\sigma_0^4}\sum(X_i-\mu)^2\\=\frac{n\hat\sigma^2}{2\sigma_0^4}-\frac{n}{2\sigma_0^4}

となります。

フィッシャー情報量はワルド検定の部分で出していますので

I_1(\sigma_0^2)=\frac{1}{2\sigma_0^4}

となります。

 

これを最初の式に代入すると

\sqrt{\frac{n}{2\sigma_0^4}}(\hat\sigma^2-\sigma_0^2)\sim N(0,1)

2乗すると以下のようになります。

\frac{n}{2\sigma_0^4}(\hat\sigma^2-\sigma_0^2)^2\gt\chi^2_{1,\alpha}