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現代数理統計学の基礎　3章　問24(追加)

統計

今日は指数分布と100α%分位点の問題を解きたかったので、追加問題を解きました。1級の統計応用のことを考えると、次は7章の解きなおしでもしようかなと思ってます。

 

(1)は指数分布のモーメント母関数の問題ですね。

まず指数分布は

E_x(\lambda)=\lambda e^{\lambda x}なので

M_x(t)=\sum_{x=0}^\infty e^{tx}\lambda e^{\lambda x}\\=\sum(\lambda-t) e^{-(\lambda-t)x}・\frac{\lambda}{\lambda-t}\\=\frac{\lambda}{\lambda-t}(t\lt\lambda)

 

最後の変形は\sum(\lambda-t) e^{-(\lambda-t)x}が指数分布E_x(\lambda-t)の総和=1であることを用いました。またモーメント母関数におけるtは極小であるのでt\lt\lambdaが成り立ちます。

 

(2)はモーメント母関数を使うだけの問題ですね。

(1)で求めた結果を使えば、微分して0を代入することで

E[X]=\frac{1}{\lambda}

 

分散は2回微分して0を代入したものから期待値の2乗を引けばよいので

V(X)=\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda^2}

 となります。

 

(3)は100α%分位点を求める問題です。まず分布関数F(x)は確率密度関数を積分すればよいので

\int_0^x\lambda e^{\lambda x}=1-e^{-\lambda x}

となります。ここでxがx_\alphaをとるとき、その確率が1-αとなるわけなので

1-e^{-\lambda x_\alpha}=1-\alpha\\x_\alpha=-\frac{1}{\lambda}log\alpha

となります。

 

最後の(4)は条件付きの期待値の問題です。

E[X|X\gt t]なので、条件となる確率を分母にもってこれば良く、その確率は

P(X\gt t)\\=1-(1-e^{-\lambda t})\\=e^{-\lambda t}

となります。

よって答えは

\frac{\int_t^\infty x\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda t}}\\=e^{\lambda t}[-xe^{-\lambda x}]_t^\infty+e^{\lambda t}\int e^{-\lambda x}\\=t+\frac{1}{\lambda}

です。最後の変形は部分積分を用いました。

 

条件付き期待値についてこちらのページが参考になります。

条件付き期待値，分散の意味と有名公式 | 高校数学の美しい物語

 

次は7章を解いていこうかなと思ってます。