脳内ライブラリアン

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現代数理統計学の基礎　6章　問13-1

統計

平均0, 分散θの正規分布についての問題。

 

まず(1)は分散のフィッシャー情報量を求める問題ですね。

 

問12で書いたように対数尤度関数の二回微分を求めていけばよいので

 

 

まず対数尤度関数が

 

logf(x|\theta)=log\frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}}e^{-\frac{x^2}{2\theta}}\\=-\frac{x^2}{2\theta}-\frac{1}{2}log\theta-\frac{1}{2}log2\pi

 

θで2回微分すると

 

-\frac{x^2}{\theta^3}+\frac{1}{2\theta^2}

 

よってフィッシャー情報量を求めていくと

 

I_1(\theta)=E[-(-\frac{x^2}{\theta^3}+\frac{1}{2\theta^2})]=\frac{E[x_1^2]}{\theta^3}-\frac{1}{2\theta^2}=\frac{1}{2\theta^2}

 

となります。

ちなみに最後の方の式では、E[x]=0なので

E[x_1^2]=Var(x_1)=\theta

を利用しています。

 

よってn倍すればn個のデータの

フィッシャー情報量になるので

I_n(\theta)=\frac{n}{2\theta^2}

 

逆数がクラメール・ラオの下限になるので

クラメール・ラオの不等式は

Var(\hat\theta)≧\frac{n}{2\theta^2}

 

となります。