脳内ライブラリアン

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現代数理統計学の基礎 6章 問10-3

引き続き問10から(3)

 

σとμの不偏推定量を求める問題。

 

不偏推定量とは

 

E[\hat\theta (X)]=\theta

 

を満たす推定量のことでした。

 

(2)より2T/σがχ2乗分布に従うことが

わかったので

 

E[\frac{2T}{\sigma}]=2(n-1)\\E[\frac{T}{n-1}]=\sigma\\\hat\sigma=\frac{T}{n-1}

 

となります。Tの部分を代入して解とします。

 

μについては同様に(2)の結果を用いて

 

E[\frac{n(U-\mu)}{\sigma}]=1\\E[U]=\frac{\sigma}{n}+\mu\\\hat\mu=U-\frac{\hat\sigma}{n}

 

でした。Uの部分に代入して解とします。