脳内ライブラリアン

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現代数理統計学の基礎 6章 問10-1

頑張ってLatex使って書いてみよう、という気持ちで問10。

 

指数分布の問題。

 

まず(1)、μとσの2つの母数に関しての十分統計量の問題。

 

定義関数を用いつつ、同時確率密度関数を出します。

あとからU=X(1)をくくりだすために一旦式の中に作り出します。

\prod_{i=1}^nf(x_i|\mu,\sigma)\\=\frac{1}{\sigma^n}exp\{-\frac{1}{\sigma}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)\}I(x_1\gt\mu, x_2\gt\mu,...,x_n\gt\mu)\\=\frac{1}{\sigma^n}exp\{-\frac{1}{\sigma}\sum_{i=1}^n(x_i-x_{(1)}+x_{(1)}-\mu)\}I(x_1\gt\mu, x_2\gt\mu,...,x_n\gt\mu)

 

 

これを変形して、i=1の部分を和からはじき出します

 

\frac{1}{\sigma^n}exp\{-\frac{n}{\sigma}(x_{(1)}-\mu)-\frac{1}{\sigma}\sum_{i=2}^n(x_{(i)}+x_{(1)})\}I(x_{(1)}\gt\mu)

 

Tは結局i=2のときから考えればよいので(i=1のときはX(i)-X(1)で0になる)

 

\frac{1}{\sigma^n}exp\{-\frac{n}{\sigma}(U-\mu)-\frac{1}{\sigma}T\}I(U\gt\mu)

 

となります。

これでU,Tが(μ,σ)の十分統計量であることが示されました。

 

Latexのエラーが出すぎて心折れてきたので

(たったこれだけの記事で1時間かかった・・・)

ここで終了します。

溜まったエラーたちをどこかの記事でまとめて放出します。