脳内ライブラリアン

脳内ライブラリアン

医療、健康、統計、哲学、育児・教育、音楽など、学んだことを深めて還元するために。

MENU

現代数理統計学の基礎 5章 問4

本日も統計問題の続きを。

5章問3はどうも何度か解答見ても納得できなかったので

問4にいきます。

 

F分布の何乗かした期待値を求める問題です。

3章問18でみられたχ2乗分布の特徴を用いて解きます。

上の半分がその説明となっています。

(※分子のガンマはv+n/2の間違いでした)

 

Xがχ2乗分布に従う場合、そのv乗の期待値(vは非負の実数)は

下図のガンマ関数で表されます。

ここで式の変形途中のxを見てみると

n/2+v-1 乗されています。

つまりこれが負でなければガンマ関数として成立するので

仮にvが負であってもn/2より小さければ成立します。

それを利用して

f:id:medibook:20200219224755p:plain

と導かれます。

ちなみにですが、初回これを解くときに、愚かにも

E[1/T] = 1/E[T] だなんて考えだしてしまったのですが

これは当然×。

サイコロの例で考えればすぐわかりますが、目の数をXとして

1/E[X] = 2/7

E[1/X] = (1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)×1/6 = 49/120

全然一致しませんね。

 

最後の式変形は Γ(m+n/2)が打ち消しあうことで変形できます。

f:id:medibook:20200219224209p:plain

 

 今回の問題で疑問なのは

この3章の問18の知識っていうのは割と必須な公式なんでしょうか、、、?

ということ。

パッと出てくるものではないように思えてきます。