現代数理統計学の基礎 6章 問4
引き続き6章から。
問3はどうにも腑に落ちないところがあったので
問4に続きます。
θの条件付き確率、一様分布、順序統計量、不偏推定量
そして平均2乗誤差の問題ですね。
まず(1)から p.119の例題と同様にして解きます。
一様分布の場合は定義関数で表します。
定義関数をみるとθと関連しているのがX(n)であるのがわかります。
あらかじめ知っていないとわからないですね、これ。
続いて(2)
平均2乗誤差（mean square error : MSE）のどちらがより小さいかを求める問題。
『MSE=分散 - biasの2乗』 でしたが
不偏推定量であればMSEのbiasは0になるので
要は分散を求めて比較すればよいわけです。
不偏推定量の定義からE[θhat]＝θとなるので
それを利用して求めます。
θhatが十分統計量X(n)の関数として表されるので
X(n)の確率密度関数を使います。
一様分布の標本平均なのでE[Xbar]のほうはさらっと求めます。
まずX(n)の不偏推定量から
続いて標本平均は
引き算すると明らかにU2>U1であることがわかります。
では最後、最尤推定量のMSEを求めます。
(1)で求めた同時確率密度関数から、θを最小とすれば
最も確率が大きくなることがわかります。
θ＝X(n)のとき最小なので
となります。
現代数理統計学の基礎 6章 問2
＊今までに解いた問題の解答解説まとめページを作りました（2020.9.15追記）↓
現代数理統計学の基礎 解答・解説まとめ - 脳内ライブラリアン
今回は6章。
5章は実は以前解いていたので復習がてら載せていましたが
今解いてる6章から順番に並行して載せていきます。
問1はひたすらに様々な分布で十分統計量を書いていくだけの問題なので
問2から。
十分統計量と最尤推定量の問題ですね。
同時確率密度関数をまず書きます。
たいていの場合はi.i.d.(互いに独立)なので
単純にすべての確率密度関数の積で表現できます
あとは自然対数eとlogを用いて
母数（この問題ではθ）とXiの関数を表現できればOK。
因子分解定理に従って十分統計量が出ます。
続いて最尤推定量ですが、まず対数尤度関数をとります。
対数尤度関数を母数で偏微分し、０になるような値を求めます。
いわゆる最尤法ですね。
最尤推定量のθhatが出ます。
ξ は θ の関数なので θ の最尤推定量を用いれば ξ の最尤推定量が出ます。
とここまではいいのですが、問題はその先。
最尤推定量の分散を続いて求めます。
logx1,2,3,....nの期待値や分散はすべて同じ分布に従い、かつ互いに独立なため
ひとまずX1についての期待値あるいは分散がわかれば、何とかなりそうです。
そこで-logX1をYとおいて期待値を計算します。
公式の解答はこんな細かい計算過程がないんですが
すぐに回答が出るような別の考え方があるんですかね、、？
ひとまず地道に計算したとしても =ξ という結果が出ます。
E[Y2乗]は省略します笑
これでVar(Y1)が出るので、
となります。
現代数理統計学の基礎 5章 問4
本日も統計問題の続きを。
5章問3はどうも何度か解答見ても納得できなかったので
問4にいきます。
F分布の何乗かした期待値を求める問題です。
3章問18でみられたχ2乗分布の特徴を用いて解きます。
上の半分がその説明となっています。
（※分子のガンマはv+n/2の間違いでした）
Xがχ2乗分布に従う場合、そのv乗の期待値（vは非負の実数）は
下図のガンマ関数で表されます。
ここで式の変形途中のｘを見てみると
n/2+v-1 乗されています。
つまりこれが負でなければガンマ関数として成立するので
仮にｖが負であってもn/2より小さければ成立します。
それを利用して
と導かれます。
ちなみにですが、初回これを解くときに、愚かにも
E[1/T] = 1/E[T] だなんて考えだしてしまったのですが
これは当然×。
サイコロの例で考えればすぐわかりますが、目の数をXとして
1/E[X] = 2/7
E[1/X] = (1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)×1/6 = 49/120
全然一致しませんね。
最後の式変形は Γ(m+n/2)が打ち消しあうことで変形できます。
今回の問題で疑問なのは
この3章の問18の知識っていうのは割と必須な公式なんでしょうか、、、？
ということ。
パッと出てくるものではないように思えてきます。
現代数理統計学の基礎 5章 問1
統計学の自学自習のためにここ1年ほど
「現代数理統計学の基礎 久保川達也著」
という本を使っています。
統計検定1級合格者のブログなどをみていると
”これをやればほぼ範囲は網羅されています”
と書いてあるので1冊マスターしようという気持ちで買ったのですが
いかんせん難しい。
そんなわけで、ほかの解説書もみながらやっているんですけども
同じようにつまずくひとが沢山いるのか
googleの検索ワードをみると"現代数理統計学の基礎 難しい"
とか"現代数理統計学の基礎 解説"とかいうワードが並びます。
何度か読み直してみるとやっぱり良い本だなと思ったりもするのですが
そこにたどり着くのに苦労するのと、練習問題の解説が
たまに行間を飛ばしていてわからん、、、ということがあります。
そこで自分の書いた解答を復習がてら並べてみることにします。
専門ではないゆえに間違ったことがあるかもしれないので
詳しい方がいたらぜひ突っ込みをお願いします。
実際1～3章あたりはすでに解説を書いておられるブログもありそうなので
飛ばして、5章から書きます。
ちなみに数式ですが、コードを打ち込んで書くべきなんでしょうけれど
正直時間がかかって面倒くさいので手書きをスキャンしたものにします。
字が汚くてすみません、、笑
（※2021.03.12追記 コメントで誤りを指摘していただいたので修正してLatexに直しました、ありがとうございます）
第5章 問1
標本平均と標本分散×n1/2乗の平均と分散を求める問題。
第5章のp87で示されていたように標本平均と標本分散の独立性と
標本平均の分布の標準化、下図Yがχ2乗分布に従うことを利用して解きます。
まずは期待値から
とおくと
となります。
確認ですがχ2乗分布はガンマ分布に含まれるもので
自由度nのχ2乗分布はGa(n/2, 2)でした。よって今回はGa((n-1)/2, 2)と言えます。
これを用いて期待値を計算します。
このうちは
ガンマ分布は上手く変数を中に入れ込んでしまえば
ガンマ関数が作れるので答えがでます。
最後はu=y/2として置換しました。
これとE[Z]=0を代入して
続いて分散は
定数項は分散を取ると0になることと、ZとYが独立であることを利用してこのように変形します。
続いての分散は
となります。Yの期待値はカイ二乗分布の期待値なので自由度に一致し、n-1となります。
以上を先程の式に代入すれば答えが出ます。
「一流の育て方- ビジネスでも勉強でもズバ抜けて活躍できる子を育てる」ミセス・パンプキン/ムーギー・キム著 感想
今日は通勤中に聞いているオーディオブックから一冊紹介しようと思います。
「一流の育て方」ダイヤモンド社、です。
こどもが幸せに生きていけるための育て方を
有名国公立・私立大学生への親の教育に対するアンケートに触れながら解説した本。
自らも4人のこどもの育児（いずれも国際的に活躍）をしている
ミセス・パンプキンが自身の経験に触れながら
こどもにとって良い育て方の最大公約数をみつけだす、という内容です。
本書で重要視されているポイントの中で自分が
特に大事だと感じた3点を抜き出します。
の3つです。
順番に説明していきます。
自主性
自分が幸せを感じるためには
自分のやりたいこと・幸せになれることを把握し
自分で考えて、行動すること、が重要です。
そこでこどもにはぜひとも自分のことをきちんとみつめ
自分で行動できる力を身に着けてほしい。
この時に必要なのが自主性です。
自主性はどこから芽生え始めるのか。
それが俗にいう2歳からのイヤイヤ期じゃないでしょうか。
うちの子を見ていても本当にそう思います。
「じぶん、じぶん」といってなんでも自分でやりたがります。
外でもどこでもそれをやろうとするので、まあ大変。
机の上がぐちゃぐちゃになったり、外ではあれこれものを触ったり。
ただ、自主性を養う上ではこれを邪魔してはいけない。
せっかくの自分でやる機会を奪われると段々と自主的にやらなくなってしまう。
これは年齢をある程度重ねてからも一緒で
何かに挑戦しようとしているときはそれを応援するのが良いとか。
ここでひとつ、親のできることとして触れられているのは
「視野を広げてあげること」
こどもが何かをやろうとしても、広い世の中には知らなかったり
気づかなかったりすることがいっぱいあります。
自分も大学に入ってから広がった趣味がいっぱいありました。
それは中学高校の時には全然思いもよらないものでした。
もっと早く知っていたらスキルは上がってたなあと思ったりもします。
こども視点で情報を提供してあげて一緒に取り組むというのが理想ですね。
こどもは親の背中をみて育つ
こどもは親の行動をすぐにまねします。
これがすごいのは親自身も意識していないような行動まで、まねること。
こどもを育ててから初めて気づいたんですが
「スマホでだれかと話してるまね」とか
「ものを片付けるときについつい投げちゃったりする」とか
「手を後ろに組む歩き方」とか
本当些細なことまでまねてしまうんですね。
良くない習慣も良い習慣もどんどん吸収してしまうので
親は気が抜けません笑
こどもの行動をみて、叱ったりする前に、ふと自分の行動を鑑みる癖を
つけたほうが良いかもしれません。
また、これを応用して、こどもにしてほしいことがあるなら
手本を示してあげられるようにする、というのも大事なことです。
「勉強しなさい！」
「片付けしなさい！」
「早く寝なさい！」
「ゲームやめなさい！」
と親が要求することって数々あると思うのですが
実際こどもはあまり聞いてくれないことが多いのではないでしょうか。
私は中学から進学校に行っていたので
親も厳しい家がそれなりにあったんですが
そういうこどもほど、家でできないゲームを学校でしている笑
家で制限されるから学校で授業を聞かずにゲームをする、、、
本末転倒ですね。
押し付けによる制限はどうしたって反発が来ます。
それよりも勉強をやることがいかに役立つか楽しいかを
工夫して教えてあげられるのがいいですね。
・・・かなり難しそうですが。
なによりも愛情
この本の終盤で触れられていますが
何よりも大事なのは愛情をそそぐこと。
こどもが親からの愛情を受けて
安心感を感じること。
それによって自己肯定感と困難へ挑戦していく気持ちを養うことが
できるのでしょう。
親がこどもにとっての「安全基地」になる、と書かれていました。
この「安全基地」というのは
愛着に関しての理論を生み出した
イギリスの精神科医ボウルビイと研究協力者である
心理学者メアリー・エインスワースに依るようです。
”窃盗を起こした非行少年の事例を集めてみると
幼少期の母親からの愛情不足が多かった”
同じような様々な事例から
特定の養育者との「愛着」の結びつきが
幼いこどもの発達や安定に不可欠な役割を果たしている
とボウルビイは考えました。
そこから発展した考えが以下のものです。
つまり、危険が迫ったときだけ子どもは安全基地のもとに逃げ込み、危険が去ると子どもは再び母親のもとを離れ、自らの活動に戻るのである。母親という安全基地が存在することで、子どもは「遊び」という探索行動を、安心しておこなうことができていた。
不安を感じているときに、抱きしめてあげる、大丈夫だよ、と声をかける。
これが、こどもに「安全基地」となっていることを
示せることなのではないでしょうか。
最後の大事なところでこうした話をもってくる点や
子育てをされている皆さんは十分にされていると思います、と書いてくれる点に
著者のミセス・パンプキンの母親としての優しさが感じられるなあと思いました。
本に関して気になる点があるとすると
「一流の育て方」というタイトルが、どうも一流二流と人を分け隔てて
書いているような雰囲気で、「他人を下に見ない」という
大事な点とどうも矛盾して感じるな、というところと
大学生・大学院生のアンケートをもとに
いくつかの話が展開されているのですが
社会に出て、育児をし始めて、自分の親の教育に対して
感じたことや思ったこと、というのが随分変わったと思うので
むしろそこからの視点もあるべきなんじゃないかなと感じました。
そこで初めて親に感謝できることもいっぱいあったと思うので。
ともあれ、概ねの内容は子育ての基本的な考え方として
大いに役立ちそうです。これからも、育児をするうえで参考にしたい良本でした。
熱性けいれんの再発率は？てんかん発症リスクは？
うちの子が熱性けいれん起こしました。
幸いすぐ、おさまったので良かったのですが
心配になるのは、今後の再発やてんかんリスク。
医師といえど分野が違うと全然細かい知識がないので、ガイドライン引いてみました。
参考文献：熱性けいれん診療ガイドライン2015 (日本小児神経学会)
熱性けいれんの再発
熱性けいれんの再発予測因子は以下の４因子である
1)両親いずれかの熱性けいれん家族歴
2)１歳未満の発症
3)短時間の発熱-発作間隔（おおむね１時間以内）
4)発作時体温が39℃以下
いすれかの因子を有する場合再発の確率は２倍以上となる
再発予測因子をもたない熱性けいれんの再発率は約15%である。なお、再発予測因子を有する症例も含めた熱性けいれん全体の再発率は約30%である。（総論４より）
うちの子はどれも当てはまらないな、良かった。
ただ、発作時の体温まではわからんな、と思いますが。
ガイドラインの他の部分を参照にすると何度か発作を起こしていても
単純型（長時間の発作ではないなど）であれば
知的能力などにも影響はないようです。
15%というと結構多い印象ですね。リスクなくても
10人に1人以上は2回も発作起こすかと思うと目が離せないです。
熱性けいれん後のてんかん発症率
熱性けいれん後のてんかん発症関連因子は以下の
４因子である。
1)熱性けいれん発症前の神経学的異常
2)両親同胞におけるてんかん家族歴
3)複雑型熱性けいれん（部分発作、発作が１５分以上持続
一発熱機会内の再発のいずれか一つ以上）
4)短時間の発熱発作間隔（概ね１時間以内）
1)～3)のいずれも認めない場合のてんかん発症は1.0%と一般人口のてんかん発症率と同等である。１因子認める場合は2.0%、2~3因子の場合は10%であった。4)はその後のてんかん発症の相対危険度は概ね２倍であった。（総論５より）
補足：相対危険度（relative risk: RR）・・・
ある疾病の原因となる事柄がある群での疾患リスクとない群での疾患リスクの比。
今回の例でいけば、熱性けいれんを起こしたことがある100人のうち2人が
てんかんを起こし、熱性けいれんを起こしたことがない100人のうち1人が
てんかんを起こすようなイメージ。
結構再発のリスクと似通ってますね。
これも一応うちは当てはまらないかな。
考えるときに患者さんには熱性けいれんの既往があるかどうか
聞いたりしますが、正確に聞くならリスク因子まで聞かないと意味なさそうですね。
ガイドラインに繰り返し記載されているのは基本的に良性の疾患で
てんかんや知能への心配はしなくて良いということです。
どうしてもこどもが痙攣起こしたら心配になりますからね。
かかりつけ医の話をよく聞いてもらえれば大丈夫と思います。
