現代数理統計学の基礎 5章 問1
統計学の自学自習のためにここ1年ほど
「現代数理統計学の基礎 久保川達也著」
という本を使っています。
統計検定1級合格者のブログなどをみていると
”これをやればほぼ範囲は網羅されています”
と書いてあるので1冊マスターしようという気持ちで買ったのですが
いかんせん難しい。
そんなわけで、ほかの解説書もみながらやっているんですけども
同じようにつまずくひとが沢山いるのか
googleの検索ワードをみると"現代数理統計学の基礎 難しい"
とか"現代数理統計学の基礎 解説"とかいうワードが並びます。
何度か読み直してみるとやっぱり良い本だなと思ったりもするのですが
そこにたどり着くのに苦労するのと、練習問題の解説が
たまに行間を飛ばしていてわからん、、、ということがあります。
そこで自分の書いた解答を復習がてら並べてみることにします。
専門ではないゆえに間違ったことがあるかもしれないので
詳しい方がいたらぜひ突っ込みをお願いします。
実際1~3章あたりはすでに解説を書いておられるブログもありそうなので
飛ばして、5章から書きます。
ちなみに数式ですが、コードを打ち込んで書くべきなんでしょうけれど
正直時間がかかって面倒くさいので手書きをスキャンしたものにします。
字が汚くてすみません、、笑
(※2021.03.12追記 コメントで誤りを指摘していただいたので修正してLatexに直しました、ありがとうございます)
第5章 問1
標本平均と標本分散×n1/2乗の平均と分散を求める問題。
第5章のp87で示されていたように標本平均と標本分散の独立性と
標本平均の分布の標準化、下図Yがχ2乗分布に従うことを利用して解きます。
まずは期待値から
とおくと
となります。
確認ですがχ2乗分布はガンマ分布に含まれるもので
自由度nのχ2乗分布はGa(n/2, 2)でした。よって今回はGa((n-1)/2, 2)と言えます。
これを用いて期待値を計算します。
このうちは
ガンマ分布は上手く変数を中に入れ込んでしまえば
ガンマ関数が作れるので答えがでます。
最後はu=y/2として置換しました。
これとE[Z]=0を代入して
続いて分散は
定数項は分散を取ると0になることと、ZとYが独立であることを利用してこのように変形します。
続いての分散は
となります。Yの期待値はカイ二乗分布の期待値なので自由度に一致し、n-1となります。
以上を先程の式に代入すれば答えが出ます。